Se llama múltiplo de un número a aquel que obtenemos al multiplicar
ese número por otro cualquiera.
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Si
tenemos los múltiplos de dos números, al menor número que sea múltiplo de
esos dos números se lo llama mínimo común
múltiplo.
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Se
llama divisor de un número a
aquel que cabe en él una cantidad de veces exacta
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Si tenemos los divisores de dos números, al mayor
número que sea divisor de esos dos números se lo llama máximo común divisor.
Los números compuestos se llaman así porque se componen del producto de números primos.
Es como si los numero primos fueran la materia prima para construir al resto
de los números mediante multiplicaciones. Por ejemplo, el 6 se
obtiene de multiplicar al 2 y al 3. El 12 se obtiene al
multiplicar el 6 por 2. Por lo
tanto, el 12 = 2 × 2
× 3. Así, cada numero compuesto puede descomponerse en una multiplicación de números primos que es única para dicho numero. Se pueden
utilizar exponentes
para escribir esta descomposición en una manera simplificada.
Ejemplos:
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32
50 = 2 × 5 × 5 = 2 × 52
30 = 2 × 3 × 5
49 = 7 × 7 = 72
El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor múltiplo común
distinto de cero, es decir, es el número más pequeño que resulta de la multiplicación
de cualquiera de los dos números.
Ejemplo: El MCM de 24
y 36:
Los múltiplos de 24
son: 24 (resultado de 24 × 1), 48 (de 24 × 2), 72 (de 24 × 3),
96 (de 24 × 4), etcétera.
Los múltiplos de 36
son: 36 (producto de 36 × 1), 72 (de 36 × 2), 108 (36 × 3),
Etcétera.
El número más pequeño,
común a ambas listas de múltiplos es 72; por lo tanto:
MCM (24, 36) = 72
Ejercicios para resolver con mcm
Un faro se enciende cada 12 segundos, otro
cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres
coinciden.
Averigua las veces que
volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.
Debemos tener todos los
tiempos en la misma unidad, por ejemplo en segundos.
Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro
cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.
¿Dentro de cuantos días volverán a estar los
dos a la vez en Barcelona?
¿Cuál
es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada
caso, da resto 9?
En
una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l.
Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular
las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el
vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se
necesitan
El suelo de una habitación, que se quiere
embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado de la baldosa y el número de
la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no
sea necesario cortar ninguna de ellas.
Como las baldosas se suelen medir en
centímetros, pasamos todo a centímetros.
Un comerciante desea poner en cajas 12 028
manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de
manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de
naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
Calculamos el máximo común divisor.
¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que
cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de
anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
Pasamos las unidades a centímetros porque las
baldosas se miden en centímetros.
Máximo común divisor (MCD)
El máximo
común divisor (MCD) de dos o más números
es el número más grande posible que es divisor de todos ellos.
Ejemplo:
El MCD de 24 y 36:
Los divisores de 24
son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los divisores de 36
son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36
El número más grande
que divide a ambos es 12, por lo tanto:
MCD (24, 36) = 12
Al igual que en el
caso del MCM, la descomposición en factores primos resulta
Muy útil para
encontrar el MCD de dos o más números. En este caso, debemos
Obtener la descomposición
en factores primos de estos y tomar a todos los números
Que aparezcan en todas las
descomposiciones, elevados a la potencia que sea la
Mínima.
Por ejemplo, si
queremos encontrar el MCD de 24 y 36:
24 2
12 2
6 2
3 3
1
24 = 2 × 2 × 2 × 3 =
23 × 3
36 2
18 2
9 3
3 3
1
36 = 2 × 2 × 3 × 3 =
22 × 32
En un patio del
centro cívico, de 2520 cm de largo por 1980 cm de ancho, se requiere colar
cemento en placas cuadradas lo mas grandes posible y que esa medida sea un
numero entero, .cual será la longitud del lado de cada placa?
Un faro se enciende
cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto y medio. A las
6:00 a.m. coinciden los tres. Averigua cuantas veces volverán a coincidir en
los próximos 10 minutos.
El director de una
escuela desea repartir 240 libros, 180 juegos de mesa y 300 chocolates entre un
cierto número de alumnos, de modo que cada uno reciba un número exacto de cada
cosa y reciba de los tres objetos. .Cual es el mayor número de alumnos que
puede beneficiarse? .Que cantidad de cada cosa recibe
cada alumno
beneficiado?
Encuentra la menor
distancia que se puede medir exactamente con 3 reglas distintas, de 20, de 50 y
80 cm de largo cada una.
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